Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

Anterior Siguiente
4. Calcular.
c) ∫(cos⁡(x+1)x+1)dx\int\left(\frac{\cos (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}+1\right) dx

Respuesta

Vamos de a poco porque es un ejercicio de esos que son fuleritos (por no decir que son una cagada y que los odiamos jeje).


Usamos la sustitución u=x+1u = \sqrt{x} + 1. 

∫(cos⁡(u)x+1)dx \int\left(\frac{\cos (u)}{\sqrt{x}}+1\right) dx


Si u=x+1u = \sqrt{x} + 1, entonces, du=12x dxdu = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx. Despejo dxdx y me queda 2x du=dx2\sqrt{x} \, du = dx.
  

 ∫(cos⁡(u)x+1)2x du   \int\left(\frac{\cos (u)}{\sqrt{x}}+1\right) 2\sqrt{x} \, du  


Ahora nos queda algo terrible!!! Na mentira, no voy a ser trágica, pero te queda la variable uu y la variable xx en la misma integral. ¿Cómo vas a hacer para sacarla? Bueno, es algo que quizás no lo notes a simple vista, pero podés hacer la distributiva del 2x2\sqrt{x} con los términos que están en el paréntesis. 

La integral se convierte entonces en esto:

∫(cos⁡(u)x.2x+2x)dx=∫(2cos⁡(u)+2x)du \int\left(\frac{\cos (u)}{\sqrt{x}} . 2\sqrt{x} +2\sqrt{x} \right) dx = \int\left(2 \cos(u) + 2\sqrt{x}\right) du


Y ahí fijate que se pudo cancelar la "x\sqrt{x}" del numerador con la del denominador. 


En fin, la cuestión es que nos quedó:

∫(2cos⁡(u)+2x)du \int\left(2 \cos(u) + 2\sqrt{x}\right) du



Y sí, todavía tenemos una x\sqrt{x} que nos queremos sacar de encima, porque acá la gracia es que queremos que nos quede la variable uu y que xx desaparezca. Un gran tip para hacer esto es trabajar con la expresión de uu:


Como u=x+1u = \sqrt{x} + 1, puedo despejar xx y me queda así: x=(u−1)2x = (u-1)^2, entonces, si reemplazo esta expresión en 2x2\sqrt{x} me quedaría:

2x= 2(u−1)2= 2(u−1)2\sqrt{x} = 2\sqrt{(u-1)^2} = 2(u-1)



Eeeeeentonces la integral se convierte en:

∫(2cos⁡(u)+2(u−1))du \int\left(2 \cos(u) + 2(u-1)\right) du
Ahora sí, ya sin la xx separamos la integral:
∫2cos⁡(u) du+∫2(u−1) du \int 2 \cos(u) \, du + \int 2(u-1) \, du
La primera integral es:
2∫cos⁡(u) du=2sin⁡(u) 2 \int \cos(u) \, du = 2 \sin(u)
La segunda integral es:
∫2(u−1) du=2∫u du−2∫1 du=2(u22)−2u=u2−2u \int 2(u-1) \, du = 2 \int u \, du - 2 \int 1 \, du = 2 \left(\frac{u^2}{2}\right) - 2u = u^2 - 2u
Combinando los resultados:
∫(cos⁡(x+1)x+1)dx=2sin⁡(u)+u2−2u+C \int\left(\frac{\cos (\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}}+1\right) dx = 2 \sin(u) + u^2 - 2u + C
Sustituyendo u=x+1u = \sqrt{x} + 1:
2sin⁡(x+1)+(x+1)2−2(x+1)+C 2 \sin(\sqrt{x} + 1) + (\sqrt{x} + 1)^2 - 2(\sqrt{x} + 1) + C Y sí, no me odies pero en el medio te quedó un cuadrado de un binomio: (x+1)2(\sqrt{x} + 1)^2, que se resuelve fácil con la fórmula, dale: (x+1)2=x2+2.x.1+12=x+2x+1(\sqrt{x} + 1)^2 = \sqrt{x}^2 + 2 . \sqrt{x} . 1+ 1^2 = x + 2\sqrt{x} + 1 Ahora sí, seguimos:

2sin⁡(x+1)+x+1+2x−2x−2+C 2 \sin(\sqrt{x} + 1) + x + 1 + 2\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2 + C   2sin⁡(x+1)+x−1+C 2 \sin(\sqrt{x} + 1) + x - 1 + C  

Si vos lo hiciste de otra forma más fácil, dejá el desarrollo en los comentarios 😊
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Erica
30 de junio 2:20
Espero que a alguien le sirva. Como hay una suma lo resolvi separando la integral y se me hizo mucho mas facil. 

2024-06-30%2002:18:57_7688424.png
0 Responder
Benja
27 de junio 20:14
Hola Juli. Me confundió un poco tu procedimiento así que me puse solo y de resultado me quedó "2sen(√x+1)+x+C".
Sabes qué podré haber hecho mal?
0 Responder
Julieta
PROFE
28 de junio 17:05
@Benja Hola Benja, ahí lo desarrollé más el ejercicio. Quizás ahora lo entiendas mejor
0 Responder
Abel
26 de junio 23:49
hola profe de donde sale ese -1 en el resultado?
0 Responder
Julieta
PROFE
28 de junio 17:06
@Abel Del cuadrado de hacer +1 -2. Ahi desarrollé más el ejercicio. 
0 Responder
Alicia
20 de junio 18:58
Hola Juli, no entiendo de dónde salió x= (u - 1)^2. Y que paso con √x que está dividiendo.
0 Responder
Julieta
PROFE
28 de junio 17:06
@Alicia Hola Ali, ahí desarrollé un poco más el ejercicio, para que sea más claro.
0 Responder